Một chút về "số" và "toán học" phần 1: Số tự nhiên và số nguyên

index

Trong quá trình tự học pure mathematics (có thể gọi là toán thuần) của mình, mình đã từ lâu muốn viết về việc mà “hệ thống số” ví dụ số tự nhiên $\mathbb{N}$ , số nguyên $\mathbb{Z}$ , số hữu tỉ $\mathbb{Q}$ hay số thực $\mathbb{R}$ được hình thành như thế nào và đặc biệt là chúng liên quan đến với nhau như thế nào.

Một trong những điểm cực hay của toán học là dùng những thứ cơ bản để chứng minh những thứ phức tạp, tất cả mọi thứ đều có thể được xây dựng (hay build up) từ một vài tiên đề (hay gọi là axiom) đơn giản. Ví dụ, người ta có thể xây dựng số nguyên $\mathbb{Z}$ từ số tự nhiên $\mathbb{N}$ , xây dựng $\mathbb{Q}$ từ $\mathbb{Z}$ và xây dựng $\mathbb{R}$ từ $\mathbb{Q}$ .

Ngoài ra có bao giờ các bạn tự hỏi rằng tại sao $a(b + c) = ab + ac$ lại đúng chưa ? Tụi mình sẽ cùng hiểu rõ trong bài blog này, thật ra content đa số được mình lấy từ cuốn Analysis I - Terrance Tao [] (đây là một cuốn sách rất hay nhưng hơi hardcore với các bạn tự học như mình, nên có thêm sự trợ giúp của Gemini 3.0 Pro hoặc Claude Opus 4.5 nhé).

Để đọc blog này một cách tốt hơn, các bạn nên giả vờ quên hết những gì mình được học về hệ thống số, số âm, số dương, cộng, trừ, nhân, chia, … đều không “tồn tại” và tụi mình sẽ tìm cách định nghĩa, chứung minh dần những cái “đã biết” này.

1. Số tự nhiên

1.1. Tiên đề Peano

Số tự nhiên là hệ thống số cơ bản nhất và tất cả các hệ thống số khác đều được xây dựng nên từ đây. Vậy là sao để định nghĩa được hệ thống số cơ bản này một cách chặt chẽ nhất có thể ? Tụi mình sẽ tìm hiểu đến Tiên đề Peano (Peano Axioms) ¹, đây là một bộ các tiên đề được dùng để định nghĩa số tự nhiên được Guiseppe Peano ² đưa ra vào thế kỷ 19.

Axiom (Tiên đề 2.1)

$0$ là số tự nhiên.

Axiom (Tiên đề 2.2)

Nếu $n$ là số tự nhiên, thì $S(n)$ cũng là một số tự nhiên. Trong đó $S(n)$ là phép tăng $n$ lên 1 đơn vị (hay còn có thể gọi là đếm về sau).

Definition (Định nghĩa 2.1.3)

Ta định nghĩa $1$ là số $S(0)$ , $2$ là số $S(S(0))$ (hay nói cách khác $S(1)$ ), tương tự $3$ là $S(S(S(0)))$ . Hay định nghĩa formal hơn, $1 \coloneqq S(0), 2 \coloneqq S(S(0)), 3 \coloneqq S(S(S(0))), \dots$ .

Ta đã có 2 tiên đề đầu của hệ tiên đề Peano, ở đây có thể thấy số tự nhiên $\mathbb{N}$ là một tập hợp gồm số $0$ và các “lần” đếm về sau từ $0$ (vô hạn lần đếm).

\mathbb{N} = \{0, S(0), S(S(0)), ...\} = \{0, 1, 2, ...\}

Bây giờ, để chắc rằng các bạn nhớ tiên đề, hãy thử tự chứng minh bổ đề sau:

Lemma

$3$ là số tự nhiên

Proof

Hãy nhớ là hiện tại trong tay ta chỉ có 2 tiên đề và 1 định nghĩa, ta chỉ có thể dùng 3 thứ đấy để chứng minh bổ đề này. Đầu tiên dựa vào định nghĩa 2.1.3 ta có $3 \coloneqq S(S(S(0)))$ . Dựa vào tiên đề 2.1, $0$ là số tự nhiên và tiên đề 2.2, $S(0) \coloneqq 1$ cũng là số tự nhiên. Tương tự áp dụng tiên đề 2.2, $S(S(0))$ cũng là số tự nhiên, áp dụng tiên đề 2.2 một lần nữa, ta được $S(S(S(0))) \coloneqq 3$ cũng là một số tự nhiên. Vậy bổ đề đã được chứng minh.

Tuy nhiên, 2 tiên đề trên vẫn chưa đủ. Giả sử ta có hệ thống số gồm $0, 1, 2, 3$ trong đó $S(0) = 1, S(1) = 2, S(2) = 3$ và $S(3) = 0$ (bị wrap-around). Hệ thống số ấy vẫn thoả mãn 2 tiên đề nhưng nó bị sai với “cách hiểu” về số tự nhiên ban đầu của tụi mình, do đó ta có thêm tiên đề tiếp theo.

Axiom (Tiên đề 2.3)

$0$ không là số liền sau (successor) của bất kì số tự nhiên nào. Nói cách khác $S(n) \neq 0$ với mọi số tự nhiên $n$

Sau khi có 3 tiên đề, liệu hệ thống số tự nhiên đã hoàn thiện chưa ? Câu trả lời là chưa, xét hệ thống số sau gồm $0, 1, 2, 3, 4$ trong đó $S(0) = 1, S(1) = 2, S(2) = 3, S(3) = 4, S(4) = 4$ , hay nói cách khác ( $5 = S(4) = 4, 6 = S(5) = S(4) = 4, ...$ ). Hệ thống số này bị “loop” tại $4$ , mặc dù thoả mãn cả 3 tiên đề nhưng nó vẫn bị sai với “cách hiểu” về số tự nhiên của tụi mình.

Axiom (Tiên đề 2.4)

Các số tự nhiên khác nhau phải có số liền sau khác nhau; i.e., nếu $n, m$ là hai số tự nhiên và $m \neq n$ thì $S(n) \neq S(m)$ . Nói một cách tương đương, nếu $S(n) = S(m)$ thì $n = m$ .

Với tiên đề này, hệ thống số tự nhiên của ta đã gần hoàn thiện hơn khi loại bỏ việc “wrap-around” hay việc “loop”, đồng thời cũng chỉ rằng cách số phải khác nhau. Tuy nhiên, giả sử ta có thể nhìn một chút về tương lai (biết trước số thực), khi đó hệ thống số gồm:

K = \{ 0, 0.5, 1, 1.5, 2, 2.5, 3, 3.5, ... \}

vẫn thoả mãn 4 tiên đề trên. Điều ta muốn ở đây là hệ tiên đề Peano này phải định nghĩa được duy nhất một tập hợp số $\mathbb{N}$ và gọi tập hợp đó là số tự nhiên. Ngoài ra, hệ thống số $\mathbb{N}$ của ta chỉ gồm số các số tự nhiên và số liền sau của nó để loại bỏ đi các số “ở giữa” như $0.5$ hay $1.5$ .

Axiom (Tiên đề 2.5 (Giả thuyết quy nạp))

Đặt $P(n)$ là bất kì tính chất cho một số tự nhiên $n$ (ví dụ như $P(n) \coloneqq$ ” $n$ là số chẵn”). Giả sử $P(0)$ là đúng và giả sử bất cứ khi nào $P(n)$ đúng thì $P(S(n))$ cũng đúng. Thì khi đó, $P(n)$ đúng với mọi số tự nhiên $n$ .

Nghe có vẻ hơi lý thuyết nhỉ ? Nhưng đây chính là cách để ta loại bỏ các “kẻ ngoại lai” (như $0.5$ ) ra khỏi tập số tự nhiên. Hãy quay lại ví dụ hệ thống số $K$ ở trên. Hệ thống này thoả mãn cả 4 tiên đề trên. Vậy Tiên đề 2.5 loại bỏ hệ thống số $K$ này bằng cách nào ? Giả sử ta có $P(n)$ bất kỳ, khi đó $P(0)$ đúng thì $P(S(0)) = P(1)$ đúng, tương tự $P(1)$ đúng thì $P(S(1)) = P(2)$ đúng, cứ đếm tương tự như vậy. Có thể ta không có cách nào để đi đến kết luận $P(0.5)$ hay $P(1.5)$ đúng bởi vì không có cách đếm nào (hay $S$ nào) mà đưa từ một số $n$ sang $0.5, 1.5, 2.5, ...$ , vì vậy hệ thống $K$ không thoả mãn tiên đề 2.5.

Definition (Số tự nhiên)

Tồn tại một hệ thống số $\mathbb{N}$ , trong đó, các phần tử của $\mathbb{N}$ được gọi là số tự nhiên và các tiên đề $2.1 \to 2.5$ là đúng trong $\mathbb{N}$ . Ta gọi tiên đề từ $2.1 \to 2.5$ là tiên đề Peano.

1.2. Phép cộng trên số tự nhiên

Definition (Định nghĩa 2.2.1: Phép cộng)

Đặt $m$ là một số tự nhiên. Để cộng $0$ với $m$ , ta định nghĩa $0 + m \coloneqq m$ . Giờ giả sử theo quy nạp, ta đã định nghĩa cách cộng $n$ với $m$ . Thì khi đó, ta có thể cộng $S(n)$ với $m$ bằng cách định nghĩa $S(n) + m = S(n + m)$ .

Proposition

Nếu $n$ và $m$ là số tự nhiên thì $n + m$ cũng là một số tự nhiên.

Proof

Với $n = 0$ ta có $0 + m = m$ là một số tự nhiên. Giả sử $n$ đúng, khi đó $n + m$ cũng là một số tự nhiên. Ta lại có $S(n) + m = S(n + m)$ (theo định nghĩa 2.2.1) cũng là một số tự nhiên (theo tiên đề 2.2). Vậy theo quy nạp, bổ đề 1 đúng.

Lemma (Bổ đề 2.2.2)

Với mọi số tự nhiên $n$ , $n + 0 = n$ .

Proof

Nếu $n = 0$ thì $0 + 0 = 0$ . Giả sử $n + 0 = n$ đúng. Xét $S(n)$ , ta có $S(n) + 0 = S(n + 0) = S(n)$ . Vậy theo quy nạp, bổ đề trên là đúng.

Lemma (Bổ đề 2.2.3)

Với mọi số tự nhiên $n$ và $m$ , $n + S(m) = S(n + m)$ .

Proof

Nếu $n = 0$ thì $0 + S(m) = S(m)$ (theo định nghĩa). Giả sử $n + S(m) = S(n + m)$ đúng. Ta cần chứng minh $S(n) + S(m) = S(S(n) + m)$ . Đối với vế trái, ta có $S(n) + S(m) = S(n + S(m)) = S(S(n + m))$ (theo giả thuyết quy nạp). Đối với vế phải, ta có $S(n) + m = S(n + m) \implies S(S(n) + m) = S(S(n + m))$ (dựa theo định nghĩa phép cộng), do đó 2 vế bằng nhau. Bổ đề đã được chứng minh.

Proposition

$S(n) = n + 1$ .

Proof

Ta có $1 \coloneqq S(0)$ , vì vậy $n + 1 = n + S(0) = S(n + 0) = S(n)$ (dựa theo bổ đề 2.2.3 và 2.2.2).

Lemma (Bổ đề 2.2.4: Phép cộng có tính giao hoán)

Với mội số tự nhiên $n$ và $m$ , $n + m = m + n$ .

Proof

Xét $n = 0$ , ta có $0 + m = m = m + 0$ . Giả sử $n$ đúng, khi đó $n + m = m + n$ . Ta cần chứng minh $S(n) + m = m + S(n)$ . Ta có $S(n) + m = S(n + m) = n + S(m)$ (dựa theo định nghĩa và bổ đề 2.2.3). Vậy mệnh đề trên được chứng minh.

Lemma (Bổ đề 2.2.5: Phép cộng có tính kết hợp)

Với mọi số tự nhiên $a, b, c$ ta có $(a + b) + c = a + (b + c)$ .

Proof

Xét $c = 0$ , ta có $(a + b) + 0 = a + b$ và $a + (b + 0) = a + b$ , vì vậy $(a + b) + c = a + (b + c)$ . Giả sử $c = n$ đúng, ta có $(a + b) + n = a + (b + n)$ . Ta cần chứng minh $(a + b) + S(n) = a + (b + S(n))$ . Ở vế trái, ta thấy $(a + b) + S(n) = S((a + b) + n) = S(a + (b + n))$ (dựa theo bổ đề 2.2.3 và giả thuyết quy nạp). Ở vế phải, ta có $a + (b + S(n)) = a + S(b + n) = S(a + (b + n))$ (dựa theo bổ đề 2.2.3). Do vế trái bằng vế phải nên mệnh đề trên đúng.

Lemma (Bổ đề 2.2.6: Cancellation Law)

Đặt $a, b, c$ là các số tự nhiên sao cho $a + b = a + c$ khi đó ta có $b = c$ .

Proof

Xét $a = 0$ , ta có $a + b = 0 + b = b$ và $a + c = 0 + c = c$ do đó $b = c$ . Giả sử $a = n$ đúng, ta có $n + b = n + c \implies b = c$ . Ta cần chứng minh $S(n) + b = S(n) + c \implies b = c$ . Đầu tiên ta có $S(n) + b = S(n + b)$ và $S(n) + c = S(n + c)$ vậy theo tiên đề 2.2.4 và giả thuyết quy nạp $S(n + b) = S(n + c) \implies n + b = n + c \implies b = c$ .

Definition (Định nghĩa 2.2.7)

Một số tự nhiên $n$ được nói là dương khi và chỉ khi (iff) nếu nó khác $0$ .

Hơi mệt vì nhiều chứng minh nhỉ, nhưng bởi vì ta đang xây dựng gần như from scratch nên khi ta cần đến tính chất hoặc quy luật nào (kể cả đã biết nó đúng) thì ta phải chứng minh lại bằng những gì ta đã biết (hệ tiên đề Peano, các bổ đề các mệnh đề).

1.3. Phép nhân trên số tự nhiên

Definition (Định nghĩa 2.3.1)

Đặt $m$ là một số tự nhiên. Để “nhân” $m$ với số $0$ , ta định nghĩa $0 \times m \coloneqq 0$ . Bằng cách giả sử quy nạp, ta đinh nghĩa phép nhân cho $n$ , khi đó phép nhân trên $S(n)$ được định nghĩa như sau:

S(n) \times m \coloneqq (n \times m) + m

Có thể thấy phép nhân được định nghĩa dựa trên phép cộng, và phép cộng lại được định nghĩa dựa trên những tiên đề cơ bản nhất. Đây chính là một ví dụ về tính hierarchy của toán học, phép nhân xây dựng trên phép cộng, phép luỹ thừa lại được xây dựng bằng phép nhân. Ngoài ra ta viết $ac$ thay cho $a \times c$ , tương tự $a(b + c)$ thay cho $a \times (b + c)$ .

Lemma (Bổ đề 2.3.2 (Phép nhân có tính giao hoán))

Đặt $n, m$ là số tự nhiên. Khi đó $n \times m = m \times n$ .

Proof

Ở đây ta sẽ có 2 lần chứng minh. Để áp dụng chứng minh quy nạp, đầu tiên phải chứng minh được đúng trên $0$ , do đó $n \times 0 = 0 \times n$ với mọi $n$ .

Ta sẽ chứng minh $0 \times n = 0$ do đó $0 \times n = 0 = n \times 0$ (theo định nghĩa).

Xét $n = 0$ , ta thấy $0 \times 0 = 0$ (theo định nghĩa). Giả sử $n=k$ đúng, tức là $0 \times k = 0$ với $k \in \mathbb{N}$ . Xét $S(k)$ , ta có $0 \times S(k) = 0 \times k + 0 = 0 + 0 = 0$ (theo định nghĩa). Do đó $0 \times n = 0$ với mọi $n \in \mathbb{N}$ .

Ta sẽ chứng minh $n \times m = m \times n$ với mọi $n, m \in \mathbb{N}$ .

Xét $n = 0$ , ta thấy $0 \times m = m \times 0 = 0$ (theo chứng minh phía trên). Giả sử $n=k$ đúng, tức là $k \times m = m \times k$ với $k \in \mathbb{N}$ . Xét $S(k)$ , ta có $S(k) \times m = (k \times m) + m = (m \times k) + m = m \times S(k)$ (theo định nghĩa). Do đó $n \times m = m \times n$ với mọi $n, m \in \mathbb{N}$ .

Proposition (Mệnh đề 2.3.4 (Quy tắc phân phối))

Với mọi số tự nhiên $a, b, c$ , ta có $a(b + c) = ab + ac$ và $(b + c)a = ba + ca$ .

Proof

Bạn đọc có thể đọc thêm phần chứng minh trong sách Analysis I [] trang 34.

1.4. Tiên đề Peano và khoa học máy tính

Kurt Gödel, một nhà toán học và logic học, cực kì nổi tiếng với Định lý bất toàn (Godel's Incompleteness Theorem) của mình.

Chúng ta vừa xây dựng số tự nhiên $\mathbb{N}$ từ hệ tiên đề Peano. Có thể thấy, hệ tiên đề này có thể hiểu đơn giản đơn giản bằng việc “đếm số”. Thế nhưng vào năm 1931, Godel cho thấy rằng $\mathbb{N}$ (và hệ tiên đề Peano) đủ mạnh để có thể chứa toàn bộ logic trong nó. Tuy nhiên, việc đủ mạnh ấy vẫn chưa đủ, khi mà vẫn tồn tại một mệnh đề đúng về số tự nhiên $\mathbb{N}$ mà tiên đề Peano không thể chứng minh được. Đây được gọi là Định lý bất toàn của Godel. Định lý này cho thấy rằng không có bất kỳ một tập hợp các tiên đề nào có thể “chứa” (capture) được toàn bộ mệnh đề đúng của một hệ thống số.

Nhiều năm về sau, Alan Turing đã áp dụng ý tưởng của Godel vào việc định nghĩa giới hạn của máy tính (thông qua một hệ thống formal được gọi là Turing machine). Turing chứng minh được rằng tồn tại các bài toán mà máy tính không thể và không bao giờ giải được. Đây cũng chính là tiền đề của một field khá “niche” trong khoa học máy tính là Computability theory và Complexity Theory. Recommend các bạn nên đọc Introduction to Theory of Computation của Michael Sipser để hiểu hơn về mấy cái này (hoặc là đợi mình viết thêm blog hihi).

2. Số nguyên

Việc định nghĩa được phép cộng và số tự nhiên $\mathbb{N}$ , ta có thể dùng các định nghĩa ấy để giải phương trình ví dụ như $2 + 3 = x$ . Thế nhưng giả sử để giải phương trình dưới đây:

a + x = b

Ta sẽ có 2 trường hợp:

Nếu $b \geq a$ thì nghiệm $x \in \mathbb{N}$ và $x = 3$ .
Nếu $b < a$ thì nghiệm $x$ không tồn tại trong $n$ ( $x = -1$ ).

Số nguyên được xây dựng để chắc chắn rằng phương trình $a + x = b$ có nghiệm (fun fact: nếu các bạn biết mục đích xây dựng số phức $\mathbb{C}$ thì sẽ hiểu tại sao, nó cũng được xây dựng để khiến phương trình $x^2 + 1 = 0$ có nghiệm).

Từ lý do trên, ta sẽ định nghĩa số nguyên là các cặp $(a, b)$ với $a, b$ là số tự nhiên, sao cho $(a, b)$ chính là nghiệm của phương trình $b + x = a$ (hay nói cách khác số nguyên chính là $x = a - b$ ).

$(3, 1)$ nghĩa là $1 + x = 3 \Leftrightarrow x = 3 - 1$ .
$(1, 3)$ nghĩa là $3 + x = 1 \Leftrightarrow x = 1 - 3$ .

Thế nhưng, các cặp khác nhau như $(1,3)$ hay $(2, 4)$ có thể định nghĩa cùng 1 nghiệm (là $x = -2$ ) vì vậy làm sao để ta định nghĩa sự tương đương giữa 2 cặp này ?

Hình thức hoá hơn, đặt $\mathbb{N} \times \mathbb{N}$ là tập hợp bao gồm các cặp có thứ tự $(a, b)$ (cặp có thứ tự nghĩa là $(a, b)$ khác $(b, a)$ ). Khi đó, ta định nghĩa quan hệ giữa hai cặp $(a, b)$ và $(c, d)$ như sau:

(a, b) \ast (c, d) \Leftrightarrow a + d = c + b

Ở định nghĩa này, ta né đi việc dùng phép $-$ , có thể thấy $a + d = c + b$ tương đương với $a - b = c - d$ .

Definition (quan hệ tương đương)

Một quan hệ tương đương trên một tập hợp $S$ là một quan hệ, kí hiệu là $\sim$ thoả mãn các tính chất sau:

Tính đối xứng (Symmetric): $(a, b) \sim (b, a)$ .
Tính phản xạ (Reflexive): $(a, b) \sim (a, b)$ .
Tính bắc cầu (Transitive): $(a, b) \sim (c, d)$ và $(c, d) \sim (e, f)$ thif $(a, b) \sim (e, f)$ .

Quan hệ $\ast$ được ta định nghĩa phía trên là một quan hệ tương đương. Vì vậy, ta định nghĩa được sự tương đương giữa 2 cặp “nghiệm” của phương trình $b + x = a$ và $d + y = c$ .

Definition (Lớp tương đương)

Cho $\sim$ là một quan hệ tương đương trên $S$ . Với $a \in S$ , lớp tương đương của $a$ là:

[a] \coloneqq \{s \in S \mid s \sim a\}

Đôi khi ta có thể viết $[a]_{\sim}$ để chỉ rõ quan hệ tương đương $\sim$ . Một tập hợp con $U$ của $S$ được gọi là lớp tương đương nếu $U = [a]$ với $a \in S$ . Một phần tử $s \in U$ được gọi là một biểu diễn của $U$ .

Một số nguyên là một lớp tương đương thông qua quan hệ $\ast$ (đã được ta định nghĩa phía trên). Ta định nghĩa tập hợp các số nguyên là $\mathbb{Z}$ . Như định nghĩa phía trên, một số nguyên được biểu diễn bằng một cặp $(a, b)$ sẽ được kí hiệu là $[(a, b)]$ .

2.2. Phép toán trên số nguyên

Số nguyên là một lớp tương đương (một tập hợp các cặp), nhưng khi ta tính toán, ta lại chỉ lấy một đại diện (một cặp cụ thể) ra để tính. Ta phải đảm bảo rằng việc ta chọn biểu diễn nào của một lớp tương đương nào không làm thay đổi kết quả cuối cùng. Tính chất này gọi là Well-defined (tính xác định).

Example

Giả sử ta định nghĩa một hàm $f: \mathbb{Z} \to \mathbb{N}$ và $f([(a, b)]) = a$ (hay nói cách khác với mỗi biểu diễn của lớp tương đương, ta chọn phần tử đầu tiên trong cặp).

Xét $x = [(2, 1)]$ khi đó $f(x) = 2$ .
Xét $y = [(3, 2)]$ và có thể thấy $(2, 1) \ast (3, 2)$ bởi vì $2-1 = 3-2$ do đó $x$ và $y$ cùng là biểu diễn của một lớp tương đương.
Nhưng $f(y) = 3$ , mà $2 \neq 3$ nên $f$ không well-defined*.

Definition (Định nghĩa 3.2.1: Phép cộng)

Cho $x = [(a, b)]$ và $y = [(c, d)]$ là hai số nguyên. Ta định nghĩa tổng của chúng là:

x + y \coloneqq [(a + c, b + d)]

Điều này tương ứng với logic thông thường: $(a - b) + (c - d) = (a + c) - (b + d)$ .

Definition (Định nghĩa 3.2.2: Phép đối và Phép trừ)

Số đối (negation) của một số nguyên $x = [(a, b)]$ được định nghĩa là $-x \coloneqq [(b, a)]$ . Ta định nghĩa phép trừ là việc cộng với số đối: $x - y \coloneqq x + (-y)$ .

Definition (Định nghĩa 3.2.3: Phép nhân)

Cho $x = [(a, b)]$ và $y = [(c, d)]$ . Ta định nghĩa tích của chúng là:

x \times y \coloneqq [(ac + bd, ad + bc)]

Tại sao công thức nhân lại “cồng kềnh” như thế này? Hãy nhớ lại kiến thức cơ bản được học ở cấp 2 (cái mà ta đang giả vờ không biết), nếu khai triển biểu thức $(a - b)(c - d)$ , ta sẽ có:

(a - b)(c - d) = ac - ad - bc + bd = (ac + bd) - (ad + bc)

Chuyển về dạng định nghĩa theo lớp tương đương, phần dương là $(ac + bd)$ và phần âm là $(ad + bc)$ .

Note

Chúng ta đã tạo ra một tập hợp mới $\mathbb{Z}$ , nhưng đâu là các số tự nhiên $0, 1, 2...$ mà ta đã biết? Ta cần một cách để “nhìn” thấy $\mathbb{N}$ bên trong $\mathbb{Z}$ .

Để làm vậy, ta thực hiện như sau:

Ta đồng nhất số tự nhiên $n$ với số nguyên $[(n, 0)]$ .
Ta đồng nhất số nguyên $[(0, n)]$ với kí hiệu $-n$ .

Nhờ định nghĩa này, ta có thể viết tắt $[(a, b)]$ thành $a - b$ . Và từ đây, $\mathbb{Z}$ trở thành một mở rộng của $\mathbb{N}$ .

2.4. Một vài fact về số nguyên

Ta xây dựng số nguyên $\mathbb{Z}$ bằng cách sử dụng lớp tương đương trên các cặp số tự nhiên. Nếu ta áp dụng lớp tương đương lần nữa nhưng trên phép modulo giữa các số nguyên, ta có một tập hợp mới được gọi là Modular Arithmetic, kí hiệu là $\mathbb{Z}_n$ .

Các kiến thức nâng cao hơn và quan trọng hơn ví dụ như Elliptic Curve (được dùng trong Bitcoin và mật mã học) hoạt động trên Modular Arithmetic $\mathbb{Z}_n$ thay vì hệ thống số nguyên $\mathbb{Z}$ thông thường.

Ngoài ra, việc tìm nghiệm nguyên của một phương trình cũng rất quan trọng. Ta có một concept gọi là Diophantine Equation, đây là một phương trình đa thức và các nghiệm bắt buộc là số nguyên. Ví dụ:

$a^2 + b^2 = c^2$ là một Diophantine Equation và có các nghiệm nguyên (đây cũng là định lý Pytago, các cặp thoả mãn ví dụ như $(3, 4, 5)$ ).
$a^n + b^n = c^n$ với $n > 2$ không tồn tại nghiệm nguyên.

Đây chính là Định lý cuối cùng của Fermat (Fermat’s Last Theorem) và mất đến hơn 358 năm cho đến khi được chứng minh bởi Andrew Wilees vào năm 1994.

Analysis I, Tao, Terence
2022
https://doi.org/10.1007/978-981-19-7261-4
Abstract algebra: Structures and Applications, Lovett, Stephen
2015
https://doi.org/10.1201/b18722

Một chút về "số" và "toán học" phần 1: Số tự nhiên và số nguyên

1. Số tự nhiên

1.1. Tiên đề Peano

1.2. Phép cộng trên số tự nhiên

1.3. Phép nhân trên số tự nhiên

1.4. Tiên đề Peano và khoa học máy tính

2. Số nguyên

2.2. Phép toán trên số nguyên

2.4. Một vài fact về số nguyên

Footnotes